MatheAss 9.0 − Analisi

Successiones e Series   (Nuovo nella versione 9.0 da maggio 2021)

Il programma determina i primi n termini di una successione  (ai)  e la serie associata (somma dei termini della successione) se i primi termini della successione e una funzione esplicita  ai=ƒ(i)  o  una formula di ricorso  ai=ƒ(a0, a1, ... , ai-1)  sono dati.

Successione 
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
( a[ i ] ) = (1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19)

Serie
¯¯¯¯
( Σ a[ i ] ) = (1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100)       

Divisione dei polinomi

Il prodotto ed il quoziente di polinomi dovuti saranno calcolati.

1° polinomio: 3·x4 - 2 x + 1 
2° polinomio: 2·x + 5 

      Prodotto: 6·x5 + 15·x4 - 4·x2 - 8·x + 5 
   Quoziente: 3/2·x3 - 15/4·x2 + 75/8·x - 391/16       
          Resto: 1971/16

Fattorizzazione di polinomi   (Nuovo nella versione 9.0)

Gli zeri razionali e la decomposizione di un polinomio in fattore lineare sono determinati.

p(x) = x5 - 9·x4 - 82/9·x3 + 82·x2 + x - 9
       = (1/9)·(9·x5 - 81·x4 - 82·x3 + 738·x2 + 9·x - 81)
       = (1/9)·(3·x - 1)·(3·x + 1)·(x - 9)·(x - 3)·(x + 3)

Zeri rationali: 1/3, -1/3, 9, 3, -3

Trasformazione di polinomi   (Nuovo nella versione 9.0)

Un polinomio p(x) può essere spostato o allungato nella direzione x e nella direzione y.

ƒ(x) = - 1/4·x4 + 2·x3 - 16·x + 21

Spostato di dx = -2, dy = 0                                         

ƒ(x + 2) = - 1/4 ·x4 + 6 ·x2 + 1

MCD e MCM di polinomi   (Nuovo nella versione 9.0 da febbraio 2021)

Vengono determinati il massimo comune divisore (MCD) e il minimo comune multiplo (LCM) di due polinomi. p1(x)  e  p2(x).

p1(x) =  4·x6 - 2·x5 - 6·x4- 18·x3 - 2·x2 + 24·x + 8
p2(x) =  10·x4- 14·x3 - 22·x2 + 14·x + 12

MCD(p1,p2) =  x2 - x - 2
LCM(p1,p2) =  40·x8 - 36·x7 - 76·x6 - 144·x5 + 88·x4+ 356·x3 - 4·x2 - 176·x - 48

Tracciatore di funzioni

È possibile tracciare fino a dieci funzioni contemporaneamente in un sistema di assi. è inoltre possibile utilizzare combinazioni o derivazioni di funzioni precedentemente definite.

Se f1(x)=sin(x)  e  f2(x)=3*sqr(x), allora 

f3(x) = 2*y1^2-y2  sostituisce   f3(x) = 2*sin(x)^2 - 3*sqr(x)
f4(x) = f2(y1)        sostituisce   f4(x) = 3*sqr(sin(x))
f5(x) = y2'             sostituisce   f5(x) = 3/(2*sqr(x))

Esempio:   ƒ1(x) = sin(x) ;      ƒ2(x) = x ;      ƒ3(x) = y1+y2


Funzioni a tratti

Viene disegnata una funzione definita da varie sottofunzioni, ciascuna definita su un certo sottodominio.

Esempio:


Curve parametriche

Con questo programma si possono disegnare curve che non sono date da un termine di funzione esplicito, ma da due funzioni di deflessione orizzontale e verticale.

Esempio: Figura di Lissajous

    x(k) = sin(3*k)

    y(k) = cos(5*k)

    k from -Pi to Pi

Le figure di Lissajou si ottengono quando due tensioni c.a. con frequenze diverse vengono applicate a un oscilloscopio.


Famiglia di curve

Il programma disegna i grafici di una funzione che contenga un parametro k. I valori per k possono essere elencati o determinati dal valore iniziale, dal valore finale e dal passo.

    ƒ(x,k) = sin(x+k)

    k  da -2 a 2  con passo  Pi/4


Studio di funzioni polinomiali   (Nuovo nella versione 9.0)

Il programma svolge la discussione sulla curva per una funzione polinomiale. Ciò significa che vengono determinati i derivati e la antiderivata
e la funzione viene esaminata per zeri razionali, per estremi, per punti di flesso e per simmetria.

Funzione:
¯¯¯¯¯¯¯¯
ƒ(x) = 3·x4 - 82/3·x2 + 3
       = 1/3·(9·x4 - 82·x2 + 9)
       = 1/3·(3·x - 1)·(3·x + 1)·(x - 3)·(x + 3)

Derivati:
¯¯¯¯¯¯¯
ƒ'(x)  = 12·x3 - 164/3·x
ƒ"(x)  = 36·x2 - 164/3
ƒ'"(x) = 72·x

Antiderivativa:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
F(x) = 3/5·x5 - 82/9·x3 + 3·x + c

  .
  .
  .

Studio di funzioni razionali   (Nuovo nella versione 9.0)

Il programma svolge la discussione sulla curva per una funzione razionale. Ciò significa che vengono determinate le derivati, le lacune nella definizione e la continuazione continua. La funzione viene esaminata per zeri, estremi, punti di flesso e comportamento di |x|→ ∞.

Funzione :
¯¯¯¯¯¯¯¯
             3·x3 + x2 - 4        (x - 1)·(3·x2 + 4·x + 4)  
ƒ(x) = —————— = ———————————
                4·x2 - 16               4·(x - 2)·(x + 2)       

Singularitás:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
x = 2  Palo con cambio di segno
x =-2  Palo con cambio di segno

Derivati:
¯¯¯¯¯¯¯¯
               3·(x4 - 12·x2)            3·(x2·(x2 - 12))   
ƒ'(x) = ———————— = ————————
            4·(x4 - 8·x2 + 16)       4·(x - 2)2·(x + 2)2 

                      6·(x3 + 12·x)               6·(x·(x2 + 12))  
ƒ"(x) = ——————————— = ———————
              x6 - 12·x4 + 48·x2 - 64       (x - 2)3·(x + 2)3 
  .
  .
  .

Studio di funzioni arbitrarie

Discussione della curva su una funzione arbitraria. Le derivazioni, gli zeri, gli estremi ed i punti di flesso sono risoluti.

Funzione:
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
  ƒ(x) = x^4-2*x^3+1
  Studio nella gamma da -10  to  10

Derivati:
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
  ƒ'(x) = 4*x^3-6*x^2
  ƒ"(x) = 12*x^2-12*x

Zeri:
‾‾‾‾‾‾‾
  N1(1|0)                     m = - 2
  N2(1,83929|0)          m = + 4,5912

Estremi:
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
  T1(1,5|-0,6875)        m = 0

Punti di flesso:
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
  W1(0|1)                   m = + 0
  W2(1|0)                   m = - 2

Iterazione di Newton

Approssimazione degli zeri di una funzione ƒ(x) con il metodo del Newton con una prima congettura x0.

  ƒ(x) = x-cos(x)

                 x                       ƒ(x)                  ƒ'(x) 
   ————————   ——————   ——————   
   x0 = 1
   x1 = 0,75036387     0,45969769       1,841471
   x2 = 0,73911289     0,018923074     1,681905
   x3 = 0,73908513     0,00004646       1,6736325
   x4 = 0,73908513     0,00000000       1,673612

Integral Calculus (from February 2021 with arc lengths)

The oriented and absolute contents of the surface between two function curves are calculated at a desired interval [a; b].
In addition the twisting moments for rotation, the bodies of revolution and the arc lengths in the interval.

  ƒ1(x) = cosh(x)
  ƒ2(x) = x^2+1

  Limits of integration from  -2  to  2

  Oriented content  :  A1 = -2,07961
  Absolute content  :  A2 = 2,07961

  Arc lengths          :  L1[a;b] = 7,254      L2[a,b] = 9,294 

Espansione in serie

Tracciatore per le funzioni date come serie sopra la ƒ(x,k). Potete sviluppare la funzione con differenti gamme di parametro e differente y-sfalsi.

I primi 16 membri della serie Taylor
per la funzione seno.

ƒ(x,k) = x^(2*k-1)/fac(2*k-1)*(-1)^(k+1) ,   
k = 4, 8  e  16


Funzioni di superficie

Tracciatore per una funzione di superficie ƒ(x,y), che può contenere un subterm u(x,y).